Hinweise zur Fehlerrechnung


Jede Messung einer physikalischen Größe ist mit mehr oder weniger großen Messfehlern behaftet; misst man eine Größe mehrmals, so weichen die Ergebnisse im Allgemeinen sowohl voneinander als auch vom zu bestimmenden "wahren Wert" ab. Ziel der Fehlerrechnung ist das Ermitteln des besten Schätzwertes für den wahren Wert (Messergebnis) und für die Größe der Abweichung (Messunsicherheit).
 

1. Begriffsbestimmungen

Messgröße:

Die zu messende physikalische Größe, z. B. Spannung U, Strom I, Masse m

Messwert:

Der gemessene Wert einschließlich Einheit, z. B. U = 220 V, I = 2 A, m = 2 kg

Messergebnis:

Das aus mehreren Messwerten berechnete Ergebnis, z. B. P = U · I = 220 V · 2 A = 440 W

Messabweichung (früher Fehler genannt):

Differenz zwischen Messwert (oder einem aus mehreren Messungen gewonnenen Wert) und wahrem Wert. Man unterscheidet zufällige und systematische Messabweichungen. Die Messabweichung ist im Allgemeinen nicht genau bekannt, weil der wahre Wert nicht genau bekannt ist.

Zufällige oder statistische Messabweichungen (Fehler):

Sie treten unregelmäßig auf; sie schwanken in der Größe und im Vorzeichen. Hervorgerufen werden sie z. B. durch nicht beeinflussbare unsystematische Änderungen der Versuchs- und Umgebungsbedingungen sowie durch Unvollkommenheiten beim subjektiven Erfassen von Messwerten durch den Praktikanten. Durch mehrfaches Messen und Bildung des arithmetischem Mittelwertes kann der Einfluss zufälliger Messabweichungen minimiert werden.

Systematische Messabweichungen (Fehler):

Sie beeinflussen bei gleichen Versuchsbedingungen die Messung in der gleichen Weise. Hervorgerufen werden sie z. B. durch Unvollkommenheiten der Messgeräte, der Maßverkörperungen und der Messverfahren sowie durch systematische Änderungen der Versuchsbedingungen. Sie setzen sich aus einem bekannten und einem unbekannten Anteil zusammen. Das Messergebnis ist um bekannte systematische Messabweichungen zu korrigieren.

Messunsicherheit:

Gibt einen Bereich (Intervall) an, in dem der wahre Wert einer Messgröße oder eines Messergebnisses mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt. Sie wird auf der Grundlage von Messwerten (m. H. statistischer Methoden) und vorliegender Kenntnisse zu systematischen Messabweichungen geschätzt. Beispiel (für den Messwert U = 220 V):
DU = 2,4 V (absolute Messunsicherheit); DU/U = 1,1 % (relative Messunsicherheit)
Der wahre Wert liegt mit großer Wahrscheinlichkeit im Intervall (U -DU, U +DU).

Vollständiges Messergebnis:

Messergebnis ± Messunsicherheit; z. B. U = 220,0 V ± 2,4 V; U = (220,0 ± 2,4) V; U = 220,0 V und DU/U = 1,1 %

 

2. Ermittlung von Messunsicherheiten

2.1 Berechnung von Messunsicherheiten bei zufälligen Fehlern

Eine Messgröße x werde n mal gemessen; die einzelnen Messwerte xi (i = 1 ... n) streuen um einen Mittelwert .
Wenn bei dieser Messreihe nur zufällige (statistische) Fehler auftreten, so ist die Verteilung der Messwerte eine Normalverteilung (Gaußverteilung). Die graphische Darstellung einer solchen Verteilung ergibt die sogenannte "Glockenkurve".
Als Maß für die Streuung der Messwerte wird die Standardabweichung s eingeführt:

ist dabei das arithmetische Mittel.
Für die Gaußverteilung ergibt sich, dass 68,3 % der Messwerte im Intervall ± s liegen, d. h., die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert in diesem Intervall anzutreffen, beträgt 68,3 %. Im Intervall ± 2s liegen 95,5 % und im Intervall ± 3s 99,7 % aller Messwerte.
Werden von der Messgröße weitere Messreihen vom Umfang n aufgestellt, so sind die dazugehörigen Mittelwerte ebenfalls normalverteilt; die Standardabweichung s' für die Streuung der Mittelwerte ist dann:

Liegt bei der Bestimmung der Messgröße x eine Messreihe mit n³10 vor und können dabei die systematischen Fehler gegenüber den zufälligen Fehlern vernachlässigt werden, so wird die Standardabweichung s' als Messunsicherheit x für den Mittelwert  gewählt:

Ist die Messung eine Zählung zufälliger Ereignisse (z. B. radioaktiver Zerfallsereignisse), x = N, so beträgt die Messunsicherheit (bei Vernachlässigung systematischer Fehler) Dx = .

2.2 Die Garantiefehlergrenze als Messunsicherheit

Die Hersteller von Messgeräten geben in der Regel Garantiefehlergrenzen an (Beispiele: 1,5 % vom Messbereich; 0,1 % vom Messwert + 2 Digit). Man kann zum Beispiel die Genauigkeitsklasse bei elektrischen Messgeräten verwenden. Bei einer Genauigkeitsklasse von 1,5 und einem Messbereich von 30V beträgt die Garantiefehlergrenze DU = (1,5 % von 30 V) = 0,45 V.

2.3 Angabe einer geschätzten oberen Fehlergrenze als Messunsicherheit

Liegen keine Angaben vor, so ist die Messunsicherheit zu schätzen:
 

3. Anpassung einer Funktion an eine Messreihe (Regression)

3.1 Lineare Regression

Häufig besteht zwischen verschiedenen Messgrößen x und y ein linearer Zusammenhang

oder es wird ein solcher Zusammenhang vermutet.
Beispiel: Bei der thermische Ausdehnung von Metallen gilt für die Länge l = l0 + al0 DT, a ist der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient, l0 die Länge bei der Temperaturdifferenz T=0.
Die eigentliche Messaufgabe besteht in der Bestimmung der (konstanten) Parameter a und b. Grundsätzlich können a und b durch Messung von zwei Wertepaaren (x, y) bestimmt werden. Meist wird jedoch eine ganze Messreihe mit n Wertepaaren (xi, yi) (i = 1...n) aufgenommen, um den linearen Zusammenhang nachzuweisen.
Werden die Messwerte graphisch dargestellt, so streuen die Messpunkte wegen der unvermeidlichen statistischen Messabweichung um eine ausgleichende Gerade. Die Aufgabe besteht nun darin, die Gerade zu finden, die "am besten" an die Messpunkte angepasst ist. (Es wird hier vereinfachend angenommen, dass nur die yi fehlerbehaftet sind.)
Der Abstand eines Messpunktes von der Gerade in y-Richtung ist y = yi - y(xi) = yi - (a+bxi).
Nach der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate ist für die am besten angepasste Gerade die Summe der Abstandsquadrate minimal:

Diese Summe ist eine Funktion der Parameter a und b; zur Lösung des Problems sind also die partiellen Ableitungen dF/da = 0 und dF/db = 0 zu setzen. Dies führt zu dem Ergebnis


wobei alle Summen von i = 1 bis n gehen. Die durch (4) und (6) bestimmte Gerade heißt Regressionsgerade oder Ausgleichsgerade.
Als Messunsicherheiten der Parameter a und b werden die entsprechenden Standardabweichungen verwendet, sofern die systematischen Messabweichungen (Fehler) gegenüber den zufälligen vernachlässigbar sind: a = sa und b = sb mit

3.2 Regression mit anderen Funktionen

Grundsätzlich kann die Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate (5) nicht nur auf eine lineare Funktion (4), sondern auf beliebige Funktionen mit mehreren Parametern angewendet werden. Im Allgemeinen ist dieses Problem jedoch nicht mehr analytisch lösbar, sondern muss mit Hilfe numerischer Methoden iterativ gelöst werden. Die im Praktikum eingesetzten Computerprogramme Origin und CassyLab bieten diese Möglichkeit (Stichworte: non-linear curve fit bzw. Freie Anpassung).
Einige Funktionen können durch Transformation bequem in eine lineare Funktion überführt werden. In solchen Fällen kann die lineare Regression mit der transformierten Funktion durchgeführt werden.

Beispiel: Beim Durchgang radioaktiver Strahlung durch Materie der Dicke d gilt für die Intensität I = I0e-µd. Der Schwächungskoeffizient µ kann aus mehreren gemessenen Wertepaaren (I, d) durch lineare Regression entsprechend ln(I) = ln(I0) - µd bestimmt werden.
3.3 Praktische Hinweise

Die Formeln (6) und (7) muss man sich nicht einprägen, dafür gibt es Software. Es ist ausreichend, das Regressionsverfahren grundsätzlich und die Bedeutung der Parameter a, b, sa und sb zu kennen. Lineare Regression lässt sich schon mit vielen Taschenrechnern durchführen. Dabei sind die n Wertepaare (xi, yi) einzugeben, danach können die Werte a, b, n, xi, yi etc. abgerufen werden. Die Standardabweichungen sa und sb werden in der Regel nur von entsprechenden Computerprogrammen angegeben. In Programmen und in der Literatur werden die Begriffe Regression, Anpassung und Fit (englisch) synonym verwendet.
Stehen geeignete Hilfsmittel nicht zur Verfügung, so nimmt man die Anpassung grafisch ("nach Augenmaß", am besten mit einem durchsichtigen Lineal) vor und schätzt die Messabweichungen.
 
 

4. Messunsicherheiten für Messergebnisse (Fehlerfortpflanzung)

Es sei y = f(x1, x2, ..., xn) ein Messergebnis, das aus den Messwerten x1, x2, ..., xn mit den Messunsicherheiten x1, x2, ..., xn zu berechnen ist. Wie groß ist dann die Messunsicherheit y des Messergebnisses?

4.1 Größtfehlergleichung

Für kleine Messunsicherheiten xi kann man die Unsicherheit des Messergebnisses als totales Differential von y berechnen:

Dabei ist dy/xi die partielle Ableitung von y nach der Messgröße xi.
Bei dieser Art der Berechnung wird angenommen, dass sich die Einflüsse aller Messunsicherheiten auf die Unsicherheit des Ergebnisses addieren - es ergibt sich der größtmögliche Fehler (korrekt: Messunsicherheit) y.

4.2 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz

Wenn die Einzelmessungen voneinander statistisch unabhängig sind, so kann man erwarten, dass sich die Einflüsse der Einzel-Messunsicherheiten auf die Unsicherheit des Ergebnisses teilweise gegenseitig aufheben. Die mathematische Behandlung dieses Problems nach C. F. Gauß ergibt

Nach dieser Gleichung ist die Messunsicherheit des Ergebnisses in der Regel zu berechnen. Wenn die statistische Unabhängigkeit der Einzelmessungen nicht gesichert ist, ist Gl. (8) zu verwenden.

4.3 Vereinfachte Bestimmung der relativen Messunsicherheit D y / y

In vielen Fällen besitzt die Funktion y die Form y = c · x1n · x2m (n, m beliebig reell). Dann ergibt sich aus (8)

und aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (9) wird
Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung s = a/2 t2 ; Weg s und Zeit t werden gemessen und die Beschleunigung a ist zu berechnen:

 

5. Angabe der Messergebnisse mit ihren Messunsicherheiten

Es ist immer das vollständige Messergebnis anzugeben:

wobei die Messunsicherheit y nur ein oder zwei zählende (signifikante) Ziffern haben darf. Entsprechend ist die Zahl der Ziffern für das Messergebnis y zu wählen.
Beispiele:
y = (531,4 ± 2,3) mm;  Dy/y = 0,43%

U = (20;00 ± 0,15) V;  DU/U = 0,12 %

R = 2,145 k ± 0,043 kW;  DR/R = 2,0 %


 
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Mathias Stölzer, 11.10.2001